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크다は形容詞の「高い」と覚えている人が殆どですが、「伸びる」という動詞でもあります。

そのため、우유를 마셨을 뿐인데 키가 컸어요の直訳は本来「牛乳を飲んだだけなのに背が伸びました」になります。意味は高くなりましたとほぼ同じですよね。

一方で変化を表す「くなる」を使い、「背が高くなりました」は크다＋아/어지다＝커졌다/커졌어요になります。

結論、「背が高くなりました」は키가 컸어요, 키가 커졌어요どちらも可能で違いはほぼありません。

動詞でも形容詞でもある珍しい単語があります。こちらの動画をご覧ください。

韓国語 動詞、形容詞 どちらでもある超珍しい単語とは？例文で解説｜でき韓ハングル講座
https://youtube.com/live/wU_bwcXVg1U